Régime Permanent 1 Degré de Liberté.

TEST n°3.

ccc

1- Déterminer l'expression du carré de la fréquence de résonance charge, `f_R^2,` du circuit résonnant RLC série en fonction des paramètres du circuit.

Réponse
## f_R^2=f_0^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 \implies ##
## f_R^2=\dfrac1{4π^2 LC}-2\left(\dfrac{R_V+R}{4πL}\right)^2 ##

2- Dans le cas où la résistance variable `R_V≫R,` réexprimer `f_R^2.`

Réponse
## f_R^2=\dfrac1{4π^2 LC}-\dfrac{R_V^2}{8π^2 L^2} ##
Le tableau ci-dessous regroupe les mesures de `f_R` à différentes valeurs de `R_V.`
`R_V (kΩ)` `1,00` `2,00` `3,00` `4,00` `5,00` `6,00` `7,00`
`f_R (kHz)` `9,85` `9,54` `9,01` `8,20` `7,03` `5,26` `1,41`
`R_V^2 ((kΩ)^2)` `` `` `` `` `` `` ``
`f_R^2 ((kHz)^2)` `` `` `` `` `` `` ``

3- Remplir le tableau et tracer le graphe `f_R^2=g(R_V^2).` Télécharger le papier gradué linéaire
Commenter le graphe en tenant compte des expressions obtenues en 1 et 2. Conclure.

Réponse
`R_V (kΩ)` `1,00` `2,00` `3,00` `4,00` `5,00` `6,00` `7,00`
`f_R (kHz)` `9,85` `9,54` `9,01` `8,20` `7,03` `5,26` `1,41`
`R_V^2 ((kΩ)^2)` `1` `4` `9` `16` `25` `36` `49`
`f_R^2 ((kHz)^2)` `97,0` `91,0` `81,2` `67,2` `49,4` `27,7` `1,99`

ccc

La courbe obtenue est une droite , elle correspond à la fonction :

## f_R^2=\dfrac1{4π^2 LC}-\dfrac{R_V^2}{8π^2 L^2} ##

Par conséquent, dans le domaine ##1 kΩ≤ R_V≤7 kΩ,## la résistance `R` est négligeable devant `R_V.`

4- Calculer la fréquence propre du circuit résonnant `f_0,` l'inductance `L` de la self et la capacité `C` du condensateur.

Réponse

On détermine la coordonnée à l'origine en extrapolant la courbe, sa valeur est égale à :

## f_R^2(0)=99  (kHz)^2 ##

Son expression théorique est :

## f_R^2(0)=\dfrac1{4π^2 LC} \implies ##
## f_0^2=f_R^2(0) \implies ##
## f_0=f_R(0) \implies ##
## f_0=\sqrt{99} \implies ##
## f_0=9,95  kHz ##

On détermine la valeur de la pente p de cette droite en choisissant 2 points sur cette droite de coordonnées ##(1## , ##97)## et ##(49## , ##2)## :

## p=\dfrac{97-2}{1-49} \implies ##
## p=-1,98  Hz^2/Ω^2 ##

L'expression théorique de cette pente est :

## p=-\dfrac{1}{8π^2 L^2} \implies ##
## L=\sqrt{-\dfrac{1}{8π^2p}} \implies ##
## L=\sqrt{-\dfrac{1}{8\timesπ^2\times(-1,98)}} \implies ##
## L=80  mH ##

## f_0^2=\dfrac1{4π^2 LC} \implies ##
## C=\dfrac{1}{4π^2 Lf_0^2} \implies ##
## C=\dfrac{1}{4\timesπ^2 \times80\times10^{-3}\times99\times10^6} \implies ##
## C=3,2  nF ##